CLASS-10
SOLVING QUADRATIC EQUATION BY FORMULAE

Solving a Quadratic Equations by Formulae –

Quadratic Formulae (Shreeedharacharya’s Rule) -

The roots of the equation ax² + bx + c = 0, where a ≠ 0, are given by –

         - b ± √(b² - 4ac)

  x = -------------------

                 2a

Proof – Consider the equation ax² + bx + c = 0, where a, b, c є R, and a ≠ 0.

ax² + bx + c = 0

=> ax² + bx = - c

             b               c

=> x² + ------ x = - -------     [Dividing throughout by a]

             a               a

             b               b               c           b

=> x² + ------- x + (-------)² = - ------ + (------)²

             a              2a               a          2a

                               b

                  [Adding (------)² on both side]

                              2a

                 1         b           b              c          b

=> x² + 2 X ----- X ----- x + (-----)² = - ------ + (-----)²

                 2         a           2a             a          2a

             b              b² - 4ac

=> (x + -------)² = (------------)

            2a                4a²

             b             √(b² - 4ac)

=> (x + -------) = ± --------------, when (b² - 4ac) ≥ 0

            2a                 2a

           -b          √(b² - 4ac)

=> x = ------- ± --------------

            2a             2a

           -b ± √(b² - 4ac)

=> x = -------------------, when (b² - 4ac) ≥ 0

                  2a

Thus the question ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 has two roots given by –

       -b ± √(b² - 4ac)

x = ------------------

              2a

Example.1) Solve the following quadratic equation and calculate the answer correct to two decimal numbers :- x² - 5x – 10 = 0

Ans.) The given equation is x² - 5x – 10 = 0

This is of the form ax² + bx + c = 0, where a = 1, b = - 5, and c = -10

By, quadratic formulae, we have –

        -b ± √(b² - 4ac)

 x = ------------------

              2a

     - (-5) ± √{(-5)²- {4 X 1 X (-10)}

= ---------------------------------

                 2 X 1

      5 ± √(25 + 40)         5 ± √65

= ----------------- = -----------

           2                      2