CLASS-7
DISTRIBUTIVE PROPERTY OF DIVISION OVER ADDITION & SUBTRACTION

DISTRIBUTIVE PROPERTY OF DIVISION OVER ADDITION & SUBTRACTION -

The distributive property of division over addition and subtraction is a bit different from the distributive property of multiplication. Division does not distribute over addition or subtraction in the same straightforward manner as multiplication does. However, there are certain ways to handle division with respect to addition and subtraction. Division Distributing over Addition and Subtraction

The standard distributive property of multiplication states:

                  a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

For division, we don't have a similar straightforward distributive property. Instead, we can interpret the division of a sum or difference by a common divisor.

Division Distributing over Addition/Subtraction for Rational Numbers -

When a sum or difference is divided by a number, the division can be distributed over the terms of the sum or difference as follows:-

         (a + b)          a          b

      ---------- = ------ + -------

           c              c          c

         (a - b)          a            b

      ---------- = ------- - -------

            c             c            c

Division Over Addition -

Example.1) a = 6/7,  b = 5/7, c = 5

Ans.) As we know that -

        (a + b)         a          b

      --------- = ------ + ------

           c            c           c

L.H.S -

                       6          5               (6 + 5)

                    ------ + ------          ---------

    (a + b)            7          7                  7                

 ---------- = ------------------- = --------------  

       c                    5                         5                

                                         11          5           11          1

                     = ------- ÷ ------- = ------- x -------

                                          7           1           7           5

                                                                             11

                                              = -------

                                                   35

R.H.S -

                                                          6                   5

                                  --------         --------

      a             b                 7                  7

  -------- + -------- =  ------------ + -------------

      c             c                 5                   5

                      6          5          5           5

                = (------ ÷ -----) + (------ ÷ ------)

                      7          1          7           1

                      6          1           5          1

                = (------ x ------) + (------ x ------)

                      7          5           7           5

                                 6          5           11

                = ------ + ------ =  -------    (Proven)

                     35        35           35

Example.2) a = 5/9,  b = 7/9, c = 3

Ans.) As we know that -

        (a + b)         a          b

      --------- = ------ + ------

           c            c           c

L.H.S -

                       5          7                (5 + 7)

                    ------ + ------          ---------

    (a + b)            9          9                   9               

 ---------- = ------------------- = -------------- 

       c                    3                         3                

                          12           3           12          1

                     = ------- ÷ ------- = ------- x -------

                           9           1            9           3

                                                   12

                                              = -------

                                                   27

R.H.S -

                                      5                   7

                                  --------         --------

      a             b                 9                  9

  -------- + -------- =  ------------ + -------------

      c             c                 3                  3

                      5           3           7          3

                = (------ ÷ ------) + (------ ÷ ------)

                      9           1           9          1

                      5          1            7          1

                = (------ x ------) + (------ x ------)

                      9          3            9          3

                     5          7           12

                = ------ + ------ =  -------     (Proven)

                     27        27           27

Division Over Subtraction:-

Example.1) a = 5/9,  b = 7/9, c = 3

Ans.) As we know that -

        (a - b)         a          b

      --------- = ------ - ------

           c            c           c

L.H.S -

                       5          7                (5 - 7)

                    ------ - ------          ---------

    (a - b)            9          9                   9               

 ---------- = ------------------- = -------------- 

       c                    3                         3                

                          -2           3          -2           1

                     = ------- ÷ ------- = ------- x -------

                           9           1            9           3

                                                   -2

                                              = -------

                                                   27

R.H.S -

                                      5                   7

                                  --------         --------

      a             b                 9                  9

  -------- - -------- =  ------------ - -------------

      c             c                 3                  3

                      5          3            7          3

                = (------ ÷ ------) - (------ ÷ ------)

                      9          1            9          1

                      5          1            7          1

                = (------ x ------) - (------ x ------)

                      9          3            9          3

                     5          7           -2

                = ------ - ------ =  --------    (Proven)

                     27        27           27

Example.2) a = 6/7,  b = 5/7, c = 5

Ans.) As we know that -

        (a - b)         a          b

      --------- = ------ - ------

           c            c           c

L.H.S -

                       6          5                (6 - 5)

                    ------ - ------          ---------

    (a - b)            7          7                   7                

 ---------- = ------------------- = --------------  

       c                    5                         5                

                           1           5            1           1

                     = ------- ÷ ------- = ------- x -------

                           7           1            7           5

                                                    1

                                              = -------

                                                   35

R.H.S -

                                      6                   5

                                  --------         --------

      a             b                 7                  7

  -------- - -------- =  ------------ - -------------

      c             c                 5                   5

                      6          5          5           5

                = (------ ÷ -----) - (------ ÷ ------)

                      7          1          7           1

                      6          1           5           1

                = (------ x ------) - (------ x ------)

                      7          5           7           5

                     6          5            1

                = ------ - ------ =  -------    (Proven)

                     35        35           35

Important Notes:-

1. Division is not inherently distributive:- Unlike multiplication, division does not inherently distribute over addition or subtraction in the same simple manner. The above operations work because we use the properties of fractions to break down the division into simpler parts.
2. Parentheses and Order of Operations:- It's crucial to pay attention to parentheses and the order of operations when dealing with division and sums/differences to avoid mistakes.
3. Rational Numbers:- These properties hold true for rational numbers, where the numerators and denominators are integers.

In summary, while division does not directly distribute over addition and subtraction like multiplication does, you can distribute division over the terms of a sum or difference by dividing each term separately. This helps in simplifying expressions and solving equations involving rational numbers.