CLASS-9
TRIGONOMETRICAL RATIO - SQUARE RELATIONS IN T-RATIOS

Square Relations in T-Ratios -

Theorem-2. In a right angled triangle, for any acute angle θ, we have :-

(i) sin² θ + cos² θ = 1, 

(ii) 1 + tan² θ = sec² θ, 

(iii) 1 + cot² θ =  cosec² θ


Proof : - Consider a right angled △ABC in which ∠B = 90⁰ and ∠A = θ⁰

Let, AB = x units, BC = y units, AC = r units

Then, by the Pythagoras theorem, we have - x² + y² = r²

                                                                                                          Y           X

(i)  sin² θ + cos² θ = (-----)² + (-----)² 

                            r            r                     

                             y²         x²

                      =  (------ + ------)

                             r²         r²

                                                                                                      

      (y² + x²)          r²                                   

=  ------------ = -------  [x² + y² = r²]   = 1

          r²              r²                                                                                                    

So, sin² θ + cos² θ = 1      (Proved)


                             y

(ii)  1 + tan² θ =  1 + (-----)²

                             x

                             y²         x² + y²

                  =  1 + ------ = -----------   [x² + y² = r²]

                             x²           x²

                        r²         r

                  = ------ = (-----)²  = sec² θ

                        x²        x

               1 + tan² θ = sec² θ    (Proven)


                                x

(iii)   1  + cot² θ =  1 + (------)² 

                                y

                          x²           y² + x²

             =  1 +  -------  =  ----------  [x² + y² = r²]

                          y²              y²

                     r²               r

             =  --------- =  (--------)² =  cosec² θ  (Proved)

                     y²              y